College Algebra

Calculus I, II and III

Para resolver o problema proposto, primeiro identificamos a região de integração \( D \) no plano \( xy \) e, em seguida, aplicamos a transformação \( T(u,v) = (u-v, u+v) \) para simplificar a integral. A transformação \( T \) mapeia o ponto \( (u,v) \) no plano \( uv \) para o ponto \( (x,y) \) no plano \( xy \), onde \( x = u-v \) e \( y = u+v \). ### Passo 1: Identificar a região \( D \) A região \( D \) é delimitada pelas retas \( y = x \), \( y = 3x \), e \( x+y = 4 \). Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas: 1. Interseção de \( y = x \) e \( x+y = 4 \): \[ x + x = 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \implies y = 2 \] Portanto, o ponto de interseção é \( (2,2) \). 2. Interseção de \( y = 3x \) e \( x+y = 4 \): \[ 3x + x = 4 \implies 4x = 4 \implies x = 1 \implies y = 3 \] Portanto, o ponto de interseção é \( (1,3) \). 3. Interseção de \( y = x \) e \( y = 3x \): \[ x = 3x \implies 2x = 0 \implies x = 0 \implies y = 0 \] Portanto, o ponto de interseção é \( (0,0) \). ### Passo 2: Aplicar a transformação \( T \) A transformação \( T(u,v) = (u-v, u+v) \) mapeia a região \( D \) para uma nova região \( D' \) no plano \( uv \). Vamos determinar \( D' \) usando os pontos de interseção encontrados: - Para \( (0,0) \), temos \( u-v = 0 \) e \( u+v = 0 \) \( \implies u = 0, v = 0 \). - Para \( (2,2) \), temos \( u-v = 2 \) e \( u+v = 2 \) \( \implies u = 2, v = 0 \). - Para \( (1,3) \), temos \( u-v = 1 \) e \( u+v = 3 \) \( \implies u = 2, v = 1 \). A região \( D' \) é um triângulo no plano \( uv \) com vértices em \( (0,0) \), \( (2,0) \), e \( (2,1) \). ### Passo 3: Calcular o Jacobiano da transformação O Jacobiano \( J \) da transformação \( T \) é dado por: \[ J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (-1)(1) = 2 \] ### Passo 4: Configurar e calcular a integral transformada A integral original transforma-se em: \[ \iint_{D'} (u+v) \cdot |J| \, du \, dv = 2 \iint_{D'} (u+v) \, du \, dv \] Integrando sobre a região \( D' \): \[ \int_0^2 \int_0^u 2(u+v) \, dv \, du \] Calculando a integral interna: \[ \int_0^u 2(u+v) \, dv = 2u^2 + u^2 = 3u^2 \] Agora, a integral externa: \[ \int_0^2 3u^2 \, du = u^3 \bigg|_0^2 = 8 \] Portanto, o valor da integral \( \iint_D (x+y) \, dA \) é \( 8 \).

Math

Use a transformação \( T(u,v) = (u-v, u+v) \) para calcular o integral \[ \iint_D (x+y) \, dA, \] sendo \( D \) o triângulo limitado pelas retas \( y = x, y = 3x \) e \( x+y = 4 \).

Question

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Solution

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